هيرو، پادشاه سيراكوز، از دوستان نزديك يا شايد از خويشاوندان ارشميدس، زرگري را مأمور كرده بود تا برايش تاجي از طلاي خالص بسازد. وقتي تاج تكميل شد و به دست پادشاه رسيد، ترديد داشت كه زرگر تمام طلا را به كاربرده باشد. آيا امكان نداشت كه زرگر به جاي قسمتي از طلايي كه به او داده شده بود، از فلز كم ارزش تري مثل نقره يا مس استفاده كرده، و بقيه ي طلايي را كه مصرف نشده بود براي خود نگه داشته باشد؟

هر كس مي دانست كه چگونه طلا را با نقره و مس مخلوط كرده و در اين مخلوطها، يا آلياژها، حتي وقتي مقادير زيادي از فلزات ديگر استفاده شود، باز هم رنگ خيره كننده ي طلا باقي مي ماند. طلاي خالص را طلاي 24 عيار مي نامند. طلاي 14 عيار از 58% طلا و 42% فلزهاي ديگر تشكيل شده است. اين آلياژ به فراواني در جواهرات استفاده مي شود، و ظاهر آن با طلاي خالص تقريباً هيچ فرقي ندارد.

شاه هيرو، دوست خود ارشميدس را احضار كرد و از اين رياضيدان مشهور خواست تا بفهمد آيا واقعاً تاج از طلاي خالص است و تمام فلز با ارزشي كه پادشاه به زرگر داده در آن به كار رفته است يا نه. در سده ي سوم پيش از ميلاد، شيمي تحليلي به اندازه ي رياضيات پيشرفته نبود و ارشميدس در رياضيات و مهندسي توانايي بسيار داشت.

ارشميدس قبلاً براي محاسبه ي حجم جامدهايي كه شكلي منظم مثل كره يا استوانه داشتند دستورهاي رياضي ابداع كرده بود. او مي دانست كه اگر بتواند حجم تاج هيرو را تعيين كند، خواهد فهميد كه آيا تاج از طلاي خالص درست شده است يا از مخلوطي از طلا با فلزات ديگر.

وقتي پا به خزينه گذاشت و ديد كه آب از آن سر ريز كرد، متوجه شد كه حجم آبي كه بيرون ريخته است دقيقاً با حجم قسمتي از بدن او كه وارد آب شده برابري مي كند. اكنون مي دانست كه چگونه بايد حجم هر جسم جامد نامنظمي را محاسبه كند، چه پاي خودش باشد و چه تاج پادشاه. اگر او تاج را در ظرفي پر از آب قرار مي داد، مي توانست حجم آبي را كه سرريز مي كرد اندازه گيري كند، و اين مقدار با حجم تاج برابر بود.

فرض كنيد هيرو به زرگر، مكعبي از طلاي خالص داده بود كه دقيقاً 2 كيلوگرم وزن داشت. ابعاد چنين مكعبي 7/4 سانتيمتر، و حجم مكعب 104 سانتيمتر مكعب مي شد. اگر زرگر تاج را با تمام اين طلا درست كرده بود و از هيچ فلز ديگري استفاده نكرده بود، وزن تاج 2 كيلوگرم مي شد، گرچه شكل آن با مكعب اوليه فرق مي كرد، اما حجم آن همان 104 سانتيمتر مكعب باقي مي ماند. ولي اگر زرگر فقط از نصف طلا استفاده و يك كيلوگرم باقيمانده را با وزني برابر مثلاً نقره جايگزين كرده بود، وزن آلياژ به كار رفته در تاج همان 2 كيلوگرم مي شد، اما حجم آن تفاوت مي كرد.

اگر مي شد به نحوي حجم تاج را محاسبه كرد، معلوم مي شد كه بيشتر از 104 سانتيمتر مكعب وزن دارد، چون چگالي نقره فقط در حدود نصف چگالي طلاست. چگالي هر ماده عبارت است از وزن واحد حجم آن. چگالي طلا بيش از چگالي ديگر فلزات رايج است؛ چگالي آن 3/19 گرم بر سانتيمتر مكعب، چگالي نقره 5/10 گرم بر سانتيمتر مكعب، و چگالي مس از آن هم كمتر، يعني 9/8 گرم بر سانتيمتر مكعب است. حجم يك تاج 2 كيلوگرمي كه از 50% طلا و 50% نقره درست شده باشد، 147 سانتيمتر مكعب خواهد بود.

وقتي ارشميدس اين كشف تصادفي را در حمام عمومي كرد، ديگر اندازه گيري حجم تاج نو هيرو دشوار نبود. كافي بود آن را در آب بگذارد و حجم آب جا به جا شده را اندازه گيري كند. هنگامي كه پادشاه دريافت حجم تاجش بسيار بيشتر از تاجي است كه با طلاي خالص ساخته شده، با اعدام زرگر خطاكار حقش را كف دستش گذاشت. تصادفي كه منجر به اكتشاف پر بركت ارشميدس شد (بخت ياري!) زياد هم براي زرگر تبرك نداشت.

بدين ترتيب كشف راهي براي اندازه گيري حجم هر جسم جامد، باعث شد ارشميدس آن قدر، هيجان زده شود كه وقتي از حمام بيرون مي دود فراموش كند كه لباسهايش را جا گذاشته است.